Sqrt x

Question

• leetcode: Sqrt(x) | LeetCode OJ
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题解 - 二分搜索

由于只需要求整数部分，故对于任意正整数 $$x$$, 设其整数部分为 $$k$$, 显然有 $$1 \leq k \leq x$$, 求解 $$k$$ 的值也就转化为了在有序数组中查找满足某种约束条件的元素，显然二分搜索是解决此类问题的良方。

Python

class Solution:
    # @param {integer} x
    # @return {integer}
    def mySqrt(self, x):
        if x < 0:
            return -1
        elif x == 0:
            return 0

        start, end = 1, x
        while start + 1 < end:
            mid = start + (end - start) / 2
            if mid**2 == x:
                return mid
            elif mid**2 > x:
                end = mid
            else:
                start = mid

        return start

C++

int sqrt(int x) {
    // write your code here
    if (x <= 0) return 0;

    int lb = 0, ub = x;
    while (lb + 1 < ub) {
        long long mid = lb + (ub - lb) / 2; 
        if (mid * mid == x) return mid; 
        if (mid * mid < x) lb = mid;
        else ub = mid;
    }
    return lb;
}

源码分析

1. 异常检测，先处理小于等于0的值。
2. 使用二分搜索的经典模板，注意不能使用start < end, 否则在给定值1时产生死循环。
3. 最后返回平方根的整数部分start.
4. C++代码mid需要定义为long long，否则计算平方时会溢出

二分搜索过程很好理解，关键是最后的返回结果还需不需要判断？比如是取 start, end, 还是 mid? 我们首先来分析下二分搜索的循环条件，由while循环条件start + 1 < end可知，start和end只可能有两种关系，一个是end == 1 || end ==2这一特殊情况，返回值均为1，另一个就是循环终止时start恰好在end前一个元素。设值 x 的整数部分为 k, 那么在执行二分搜索的过程中 $$ start \leq k \leq end$$ 关系一直存在，也就是说在没有找到 $$mid^2 == x$$ 时，循环退出时有 $$start < k < end$$, 取整的话显然就是start了。

复杂度分析

经典的二分搜索，时间复杂度为 $$O(\log n)$$, 使用了start, end, mid变量，空间复杂度为 $$O(1)$$.

除了使用二分法求平方根近似解之外，还可使用牛顿迭代法进一步提高运算效率，欲知后事如何，请猛戳 求平方根sqrt()函数的底层算法效率问题 -- 简明现代魔法，不得不感叹算法的魔力！